Frage zu Berechnung bei Würfelwahscheinlichkeiten

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Der_auf_dem_Stuhl
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Frage zu Berechnung bei Würfelwahscheinlichkeiten

Ungelesener Beitrag von Der_auf_dem_Stuhl »

Moin,

ich suche zwei Excel-Funktionen, die folgende Fragen beantworten:

- Wieviele Versuche benötige ich, um mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit mit 2 Würfeln mindestens eine 3, 4, 5 usw. zu würfeln?
- Wieviele Versuche benötige ich, um mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit mit 3 Würfeln mindestens eine 11, 12, 13 usw. zu würfeln?

Hat jemand Plan und kann mir helfen?

Danke :)

Update:
Hm. Anyone? Anyone? Bueller? Bueller?

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Isurandil
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Frage zu Berechnung bei Würfelwahscheinlichkeiten

Ungelesener Beitrag von Isurandil »

Das ist etwas verallgemeinert zweimal die gleiche Frage, daher hier nur eine Lösung für
  • beliebige Anzahl an Würfeln,
  • beliebige Anzahl an Seiten und
  • beliebige minimale Erfolgswahrscheinlichkeiten.
Code ist ohne Gewähr und in LibreOffice Calc geschrieben. Für saubereren Code empfehle ich die Verwendung von "Namen" und ein bisschen Prüfung der Eingabedaten. Hier nur quick and dirty:
  • Zelle C3: Würfelanzahl
  • Zelle C4: Anzahl der Seiten der Würfel
  • Zelle C5: Mindestwert für Erfolg (Wert selbst eingeschlossen)
  • Zelle C6: Wahrscheinlichkeit für Erreichen des Mindestwerts

Code: Alles auswählen

Zelle C11: Wahrscheinlichkeit für Erreichen des Mindestwerts bei einem Wurf: =1-(POWER((C5-1)/C4,C3))
Zelle C16: Mindestanzahl an Würfen zum Erreichen des Mindestwerts: =ROUNDUP(LOG(1-C6,1-C11),0)
Deine obigen Fragen beantwortet:
Der_auf_dem_Stuhl hat geschrieben: 09.05.2023 19:24 Wieviele Versuche benötige ich, um mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit mit 2 Würfeln mindestens eine 3, 4, 5 usw. zu würfeln?
1 Wurf, 1 Wurf, 1 Wurf.
Der_auf_dem_Stuhl hat geschrieben: 09.05.2023 19:24 Wieviele Versuche benötige ich, um mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit mit 3 Würfeln mindestens eine 11, 12, 13 usw. zu würfeln?
1 Wurf, 1 Wurf, 2 Würfe.

Der_auf_dem_Stuhl
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Frage zu Berechnung bei Würfelwahscheinlichkeiten

Ungelesener Beitrag von Der_auf_dem_Stuhl »

Teste ich morgen - danke :)

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Arathorns Sohn
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Frage zu Berechnung bei Würfelwahscheinlichkeiten

Ungelesener Beitrag von Arathorns Sohn »

Da ist leider noch ein Fehler drin, wenn ihr beide 6-seitige Würfel meint.

Die Wahrscheinlichkeit mit 3 sechsseitigen Würfeln mit einem Wurf als Summe 10 oder weniger zu würfeln ist genau 50%. Dementsprechend Summe 11 oder mehr ebenfalls 50%, nicht 80%.

Bei 2 sechsseitigen Würfeln braucht man für die Summe 5+ für mind. 80% Wahrscheinlichkeit zwei Würfe, bei 3+ und 4+ korrekt einen.

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Isurandil
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Frage zu Berechnung bei Würfelwahscheinlichkeiten

Ungelesener Beitrag von Isurandil »

Arathorns Sohn hat geschrieben: 11.05.2023 22:47 Da ist leider noch ein Fehler drin, wenn ihr beide 6-seitige Würfel meint.
Das "Programm" funktioniert mit beliebigen Würfeln; einzige Einschränkung ist, dass alle Würfel gleich viele Seiten haben.
Arathorns Sohn hat geschrieben: 11.05.2023 22:47 Die Wahrscheinlichkeit mit 3 sechsseitigen Würfeln mit einem Wurf als Summe 10 oder weniger zu würfeln ist genau 50%. Dementsprechend Summe 11 oder mehr ebenfalls 50%, nicht 80%.
Ich denke nicht, dass es ein Fehler ist, wenn du von der Summe des Wurfs sprichst, da davon nichts in der ursprünglichen Anfrage stand. :grübeln:

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Arathorns Sohn
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Frage zu Berechnung bei Würfelwahscheinlichkeiten

Ungelesener Beitrag von Arathorns Sohn »

Da stand aber auch nichts von W20, und ohne Summe ergibt eine "11" bei Standard-W6 keinen Sinn.

Naja wir werden die Klarstellung noch bekommen.

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Isurandil
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Ungelesener Beitrag von Isurandil »

Arathorns Sohn hat geschrieben: 12.05.2023 08:50 Da stand aber auch nichts von W20, und ohne Summe ergibt eine "11" bei Standard-W6 keinen Sinn.
Richtig, da steht gar keine für ein Analytikerhirn vollständige Problembeschreibung, daher habe ich mir die Freiheit genommen, die Lücken mit Spekulationen zu füllen :lol:

Der_auf_dem_Stuhl
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Ungelesener Beitrag von Der_auf_dem_Stuhl »

Arathorns Sohn hat geschrieben: 12.05.2023 08:50 Da stand aber auch nichts von W20, und ohne Summe ergibt eine "11" bei Standard-W6 keinen Sinn.

Naja wir werden die Klarstellung noch bekommen.
Danke :) Es ging in der Tat um die Summen von 2w6 und 3w6 :)

Hintergrund des Ganzen ist ein anderer Thread hier im Forum.

Die Grundidee der Antwort, an die ich spontan dachte (in a nutshell), besteht in der Umwandlung von Wahrscheinlichkeiten in fixe Kosten.

Dazu hatte es mich interessiert, wieviele Würfe mindestens benötigt werden, um mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit a ) mit 2w6 die Summen 3 bis 10 bzw. b) mit 3w6 die Summen 11 bis 18 zu erzielen.

Der_auf_dem_Stuhl
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Frage zu Berechnung bei Würfelwahscheinlichkeiten

Ungelesener Beitrag von Der_auf_dem_Stuhl »

Danke!

Wenn die Mindestanzahl der Würfe aufgerundet 9 beträgt, mit 2w6 mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit eine Summe von 10 oder mehr zu würfeln und 347, mit 3w6 mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit eine 18 zu würfeln, dann habe ich es grob.

Könntest du mir die Formel in c11 nochmal erläutern? Die kriege ich in Excel nicht hin.

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Isurandil
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Ungelesener Beitrag von Isurandil »

Der_auf_dem_Stuhl hat geschrieben: 14.05.2023 07:24 Könntest du mir die Formel in c11 nochmal erläutern? Die kriege ich in Excel nicht hin.
Könnte ich, aber: Die Formeln taugen nicht für deine Fragestellung. Ich bin mir nicht einmal sicher, dass es eine geschlossene Formel (in Excel) dafür gibt. Für jede Würfelanzahl brauchst du auf jeden Fall eine Wahrscheinlichkeitstabelle für das Auftreten der möglichen Summen. Das Ganze würde dann über diese Tabelle laufen. Komme ich aber jetzt nicht dazu, schaue ich später nochmal :)

EDIT:

So, hier dann die Variante für 2W6 und 3W6. Wie angekündigt werden Häufigkeitstabellen für die verschiedenen Ergebnisse benötigt:

Für 2W6:

Code: Alles auswählen

Summe	Häufigkeit
2	1
3	2
4	3
5	4
6	5
7	6
8	5
9	4
10	3
11	2
12	1
Für 3W6:

Code: Alles auswählen

Summe	Häufigkeit
3	1
4	3
5	6
6	10
7	15
8	21
9	25
10	27
11	27
12	25
13	21
14	15
15	10
16	6
17	3
18	1
Jetzt wieder ein paar Definitionen:
  • C5 bis D15: 2W6-Häufigkeiten
  • D22: Mindestwert für Erfolg (Wert selbst eingeschlossen)
  • D23: Wahrscheinlichkeit für Erreichen des Mindestwerts
  • D25: Wahrscheinlichkeit für Erreichen des Mindestwerts bei einem Wurf (Berechnung, Formel siehe unten)
  • D26: Mindestanzahl an Würfen zum Erreichen des Mindestwerts (Berechnung, Formel siehe unten)
  • F5 bis G20: 3W6-Häufigkeiten
  • G22: Mindestwert für Erfolg (Wert selbst eingeschlossen)
  • G23: Wahrscheinlichkeit für Erreichen des Mindestwerts
  • G25: Wahrscheinlichkeit für Erreichen des Mindestwerts bei einem Wurf (Berechnung, Formel siehe unten)
  • G26: Mindestanzahl an Würfen zum Erreichen des Mindestwerts (Berechnung, Formel siehe unten)
Formeln:

Code: Alles auswählen

D25: =SUMIF(C5:C15,">="&D22,D5:D15)/SUM(D5:D15)
G25: =SUMIF(F5:F20,">="&G22,G5:G20)/SUM(G5:G20)
Berechnung des Anteils aller Würfe, die das Kriterium erfüllen, an allen Würfen. Beispiel: Mindestwert bei 2W6 soll 9 sein, dann summiert SUMIF alle Ergebnishäufigkeiten größer oder gleich 9. Dabei schaut die Funktion im Bereich C5:C15 nach der Erfüllung des Kriteriums (Wert muss größer oder gleich 9 sein), addiert aber im Bereich D5:D15. Die Summe über den gesamten Bereich der Ergebnisse entspricht der Anzahl sämtlicher Würfelkombinationen (36 bei 2W6, 216 bei 3W6).

Code: Alles auswählen

D26: =IF(1-D25=0,1,ROUNDUP(LOG(1-D23,1-D25),0))
G26: =IF(1-G25=0,1,ROUNDUP(LOG(1-G23,1-G25),0))
Das ist so ziemlich die gleiche Formel wie zuvor mit einer Prüfung des Eingabewerts: Ist D25 1, so würde die LOG()-Funktion einen Fehler zurückgeben, weshalb dieser Fall abgefangen und pauschal das Ergebnis "1" (also "ein Wurf nötig") ausgegeben wird. Die Wurfhäufigkeit berechnet sich wie folgt:
  • 1-D23 ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mindestwert nicht erreicht wird, also im 80%-Beispiel 20% (0,2).
  • 1-D25 ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mindestwert bei einem Wurf nicht erreicht wird, im 2W6-Beispiel mit 9 also 72,22% (0,7222).
  • Den Mindestwert in n Würfen mit wenigstens 80% Wahrscheinlichkeit zu erreichen, ist genauso wahrscheinlich wie den Mindestwert in n Würfen kein einziges Mal mit 20% Wahrscheinlichkeit zu erreichen.
  • Die LOG()-Funktion betrachtet jetzt die Zahl 0,2 und berechnet, mit welcher Zahl man 0,7222 potenzieren muss, um 0,2 zu erreichen.
  • Die Antwort lautet: 0,7222 muss mit (etwa) 4,95 potenziert werden, um 0,2 zu erreichen.
  • Da nur ganze Würfe existieren, muss das Ergebnis des Logarithmus auf ganze Zahlen aufgerundet werden (ROUNDUP()).
  • Das Ergebnis lautet damit 5.
Dateianhänge
20230514 Mindestwahrscheinlichkeiten W6-Summen.ods
Tabellendokument (LibreOffice Calc) mit Rechnern für Wahrscheinlichkeiten der Summen von 2W6 oder 3W6
(16 KiB) 14-mal heruntergeladen

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Super - danke :)

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